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    La probabilità probabilmente non esiste

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    Caricamento playerDavid Spiegelhalter estrae una moneta dalla tasca e prima di lanciarla in aria chiede la probabilità che il risultato sia “testa”, e le persone che lo stanno ad ascoltare rispondono praticamente in coro «50 per cento». Ottenuta la risposta, lancia la moneta, la raccoglie e sbircia velocemente il risultato prima di coprirla e chiedere: qual è adesso la vostra probabilità che sia “testa”? Seppure con qualche esitazione, rispondono tutti «50 per cento», ma la situazione è radicalmente cambiata: da un’incertezza aleatoria su ciò che non si può prevedere si è passati a un’incertezza epistemica, cioè su ciò che non si conosce.
    Spiegelhalter mostra infine il risultato e, per dimostrare che la probabilità è spesso basata su ipotesi soggettive, svela che la sua è una moneta particolare con “testa” su entrambe le facce, a conferma che anche l’assunzione iniziale del pubblico era basata sulla fiducia nei suoi confronti, più che su valutazioni matematiche.
    Da 50 anni, lo statistico inglese David Spiegelhalter (che di anni ne ha 71) studia la probabilità ed è convinto che il modo in cui viene definita sia spesso fallace, lontano dalla sua vera essenza, che ha molto di umano e meno di matematico. Nel corso della sua carriera universitaria, ha insegnato in alcune delle più importanti università del mondo come Cambridge e Berkeley, ma da qualche tempo si dedica con maggiore assiduità alla divulgazione. Ha scritto libri sulla statistica e la probabilità, ha tenuto centinaia di conferenze, ha partecipato a programmi televisivi e nel periodo della pandemia si era fatto notare nel Regno Unito per le sue spiegazioni chiare sulla diffusione del COVID-19 e l’analisi dei rischi legati alla malattia.
    Nelle sue conferenze, Spiegelhalter racconta di avere cambiato il proprio modo di pensare alla probabilità quando lesse i lavori del matematico Frank Plumpton Ramsey e dello statistico italiano Bruno De Finetti. Tra gli anni Venti e Trenta del Novecento avevano entrambi iniziato a sostenere, in maniera indipendente l’uno dall’altro, che in molti casi la probabilità dovesse essere intesa come una misura della fiducia che una persona attribuisce a un certo evento, sulla base delle informazioni di partenza che possiede.
    Il loro lavoro derivava in parte da quello del matematico inglese Thomas Bayes, che già nel XVIII secolo aveva iniziato a interpretare la probabilità come qualcosa riferito a una certa aspettativa razionale o convinzione personale, e non a ciò che ci si può aspettare dalla frequenza con cui solitamente avviene un fenomeno. Ciò vale soprattutto per gli eventi aleatori, dove non c’è possibilità di sapere veramente come si svolgerà un determinato evento fino a quando questo non sarà terminato. In una gara di Formula 1, per esempio, la frequente vittoria sempre dello stesso pilota non permette comunque di determinare la sua probabilità di vittoria nel Gran Premio successivo, perché ogni Gran Premio è diverso.
    De Finetti scriveva che la probabilità non esiste di per sé e che è una costruzione umana. «Ci ho rimuginato sopra per 50 anni e ho deciso che aveva ragione» dice spesso Spiegelhalter, che ha di recente scritto un libro su queste cose e un articolo pubblicato su Nature, una delle riviste scientifiche più famose al mondo.
    L’articolo parte proprio dalle riviste scientifiche e nota come una grande quantità di studi abbia sempre da qualche parte valori P, cioè riferiti alla probabilità che si verifichi un determinato fenomeno: «Tuttavia, sostengo che qualsiasi probabilità numerica – che si tratti di una ricerca scientifica, di una previsione del meteo o di un evento sportivo, o ancora di un rischio legato alla salute – non è una proprietà oggettiva del mondo, ma una costruzione basata su valutazioni e ipotesi (spesso dubbiose) personali o collettive. Inoltre, in molte circostanze, non si sta nemmeno stimando una quantità “reale” sottostante. In effetti, solo raramente si può dire che la probabilità “esista” del tutto».
    Spiegelhalter fa l’esempio del meteo, che di solito contiene previsioni sulla temperatura, sulla velocità del vento e sulla quantità di pioggia, ma spesso anche sulla probabilità che piova in un certo momento in un determinato luogo; il dato è espresso con una percentuale, per esempio: “70 per cento probabilità di pioggia”. Le previsioni su temperatura, vento e quantità di pioggia possono essere confrontate con i veri valori poi registrati, ma quella sulla probabilità di pioggia non può essere confrontata con una vera probabilità: o è piovuto o non è piovuto.
    Nell’articolo Spiegelhalter torna spesso sul suo argomento preferito: per qualsiasi impiego nella pratica della probabilità ci sono di mezzo valutazioni soggettive.
    Ciò non significa che io possa attribuire qualsiasi numero ai miei pensieri: sarei un pessimo valutatore di probabilità se affermassi con il 99,9 per cento di certezza di poter spiccare il volo dal tetto di casa mia, per esempio. Il mondo oggettivo entra in gioco quando le probabilità e i presupposti sottostanti vengono messi alla prova rispetto alla realtà, ma ciò non significa che le probabilità stesse siano oggettive.
    La soggettività può quindi influire fortemente sul modo in cui si fa una valutazione della probabilità. Se posso esaminare una moneta prima di giocare a “testa o croce” per verificare che non sia truccata, e se posso osservare il lancio e la sua caduta su una superficie dura con i vari rimbalzi, sarò più propenso a fare una previsione sul 50 per cento di probabilità sull’esito tra testa e croce. Se invece il lancio viene effettuato da un tipo un po’ losco che non mi fa esaminare la moneta prima e la lancia in un modo strano, divento più diffidente e cambio il mio modo di vedere la probabilità. La stessa cosa avviene per fenomeni con maggiori livelli di complessità, per esempio legati alla valutazione del rischio durante una pandemia.
    Per stessa ammissione di Spiegelhalter ci sono comunque ambiti dove la probabilità assume una connotazione diversa. È per esempio il caso della meccanica quantistica: a livello subatomico eventi senza una determinata causa possono avvenire con probabilità “fisse”, la via principale per poter indagare quei fenomeni. Nella vita di tutti i giorni possono comunque essere trascurati perché sono su un piano decisamente diverso.
    Nel corso del tempo in molti hanno provato a spiegare come funziona la probabilità, confrontandosi con la difficoltà dell’impresa. L’approccio frequentista immagina che cosa accadrebbe ripetendo un esperimento identico infinite volte, ma non è una cosa che si possa fare nel mondo reale per esempio per valutare un test clinico. Il matematico inglese Ronald Fisher propose di pensare a un certo insieme di dati come appartenente a una popolazione ipotetica e infinita, un’altra astrazione lontana dalla concretezza di tutti i giorni. Un altro approccio ancora è quello della “propensione”, secondo cui certi eventi hanno una tendenza naturale a verificarsi in un determinato contesto, come avere un infarto nei prossimi dieci anni, un altro assunto difficile se non impossibile da verificare.
    Spiegelhalter scrive che i casi in cui possiamo calcolare probabilità in modo chiaro e affidabile sono pochi e ben controllati, come i giochi d’azzardo: roulette, carte, dadi, monete lanciate o le palline della lotteria. Anche i computer, con i loro generatori di numeri pseudo-casuali, rientrano in questo ambito: usano algoritmi complessi che sembrano produrre numeri casuali, anche se in realtà seguono regole determinate.
    In natura ci sono alcuni casi di probabilità pseudo-oggettiva (nel comportamento delle molecole dei gas e in alcuni ambiti della genetica), ma per il resto dove si utilizzano le probabilità le cose funzionano diversamente:
    In ogni altra situazione in cui vengono utilizzate le probabilità tuttavia — da vaste aree della scienza allo sport, all’economia, al meteo, al clima, all’analisi del rischio, ai modelli di catastrofi e così via — non ha senso pensare ai nostri giudizi come stime di “vere” probabilità. Queste sono solo situazioni in cui possiamo tentare di esprimere la nostra incertezza personale o collettiva in termini di probabilità, sulla base della nostra conoscenza e del nostro giudizio.
    Nel 1926, Frank Ramsey propose un approccio innovativo: le leggi della probabilità possono essere derivate dalle nostre preferenze nelle scommesse. Scegliamo in base all’utilità attesa, un calcolo che combina il valore che attribuiamo a un risultato (utilità) con la nostra personale stima della sua probabilità (credenza parziale). In pratica, le nostre scelte rivelano le nostre probabilità soggettive. De Finetti formalizzò il concetto attraverso il principio della coerenza: se una persona assegna probabilità incoerenti, può essere messa in una posizione in cui perderà sicuramente una scommessa, indipendentemente dall’esito.
    Spiegelhalter ricorda che forse non ha nemmeno molto senso incaponirsi per decidere se le probabilità oggettive esistano davvero nel mondo (non quantistico) di tutti i giorni, e che si possa invece seguire un approccio pragmatico ispirandosi proprio ai lavori di Ramsey e De Finetti. Se l’ordine in cui osserviamo una serie di eventi non influenza la nostra valutazione sulla probabilità, allora possiamo comportarci come se questi eventi fossero indipendenti e governati da probabilità oggettive, anche se in realtà in questo modo esprimiamo la nostra incertezza soggettiva attraverso una distribuzione di probabilità. Detta in termini più semplici, partendo da convinzioni soggettive, possiamo giustificare l’impiego di strumenti che presuppongono l’esistenza di probabilità oggettive.
    Orientarsi in questa visione della probabilità, che tiene insieme matematica e filosofia, non è semplice e può apparire spiazzante. Non c’è del resto un’unica definizione di probabilità che metta d’accordo tutti, nonostante nei secoli ne siano state proposte in grandi quantità da alcuni dei più importanti matematici e filosofi del loro tempo. Su questo Spiegelhalter mantiene un approccio se non indulgente per lo meno comprensivo: «Le persone trovano la probabilità difficile e poco intuitiva perché è difficile e poco intuitiva. Ed è poco intuitiva perché ce la siamo inventata». Ciò non significa che non sia utile e che non possa aiutarci, se non a comprendere meglio, per lo meno a farci domande sulla realtà: «Nel mondo di tutti i giorni, la probabilità probabilmente non esiste, ma spesso è utile far finta che esista». LEGGI TUTTO

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      in Scienza

      Le probabilità al lancio della moneta sono proprio 50 e 50?

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      Da moltissimo tempo, probabilmente da quando esistono le monete, lanciarne una è il metodo più comune per fare una scelta casuale, a volte necessaria per risolvere controversie o contese di vario tipo. Il presupposto è che la probabilità che la moneta dia testa (o dia croce) è esattamente del 50 per cento. Un professore di matematica e statistica alla Stanford University, Persi Diaconis, contestò tuttavia nel 2007 l’idea che nell’esperienza empirica il lancio della moneta dia un risultato effettivamente casuale. Sostenne che siano leggermente maggiori le probabilità che la moneta, per ragioni di fisica, mostri dopo il lancio la stessa faccia che mostrava al momento del lancio.Un gruppo di ricercatori e ricercatrici dell’Università di Amsterdam e di altre università e istituti di ricerca in Europa ha cercato di dimostrare la tesi di Diaconis in un esperimento, i cui risultati sono stati pubblicati a ottobre in uno studio preprint (che deve quindi ancora essere sottoposto a una revisione indipendente). Il gruppo ha reclutato 47 volontari, tra cui amici e colleghi, provenienti da sei paesi diversi: ha quindi chiesto loro di riunirsi nei weekend per effettuare insieme migliaia di lanci, utilizzando diverse monete. Una delle sessioni di lanci più lunghe, durata 12 ore consecutive, è stata filmata e caricata su YouTube.
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      Lo studio ha complessivamente raccolto e analizzato i dati provenienti da ben 350.757 lanci, battendo un precedente record stabilito nel 2009 da un esperimento che si era fermato a 40mila lanci. I risultati indicano che il 50,8 per cento delle volte le monete dopo il lancio mostravano la stessa faccia che era rivolta verso l’alto al momento del lancio. Per quanto piccola, la «distorsione dello stesso lato» è stata ritenuta significativa dal gruppo di ricerca, perché la grande quantità di dati dovrebbe escludere il condizionamento di fattori imprevisti e non tenuti in considerazione. Nei lanci di alcune persone, definite dal gruppo «lanciatori deboli», l’effetto era ancora più marcato: quasi il 60 per cento delle volte la moneta dopo il lancio mostrava la stessa faccia di partenza.

      We found overwhelming evidence for a “same-side” bias predicted by Diaconis and colleagues in 2007: If you start heads-up, the coin is more likely to land heads-up and vice versa. How large is the bias? In our sample, the mean estimate is 50.8%, CI [50.6%, 50.9%]. pic.twitter.com/jmeHBHgkac
      — František Bartoš (@BartosFra) October 9, 2023

      In uno studio di fisica pubblicato nel 2007 Diaconis e altri colleghi avevano stimato una probabilità del 51 per cento, leggermente più alta rispetto a quella ottenuta dal gruppo di ricerca dell’Università di Amsterdam, guidato dal ricercatore Frantisek Bartos. Dal momento in cui una moneta viene lanciata in aria, secondo Diaconis e gli altri, tutta la traiettoria può essere calcolata secondo le leggi della meccanica, incluso l’esito del lancio (testa o croce). I ricercatori avevano osservato che le monete lanciate in aria non ruotavano attorno a un asse sul piano delle facce, ma tendevano a oscillare mantenendo rivolto verso l’alto lo stesso lato rivolto verso l’alto al momento del lancio.

      – Leggi anche: Il dilemma della bella addormentata

      Secondo la percentuale stimata dal gruppo di Bartos, sapere della distorsione sarebbe comunque ininfluente nella maggior parte dei casi pratici in cui è necessario lanciare una moneta, dal momento che la posizione iniziale della moneta spesso non è nota. E anche in quel caso, secondo un calcolo di Bartos, servirebbe comunque scommettere un dollaro sul risultato del lancio di una moneta mille volte per vincere mediamente 19 dollari.
      Amelia McNamara, professoressa di statistica alla University of St. Thomas in Minnesota, ha detto alla rivista Scientific American che, sebbene ininfluenti nella pratica di tutti i giorni, le conclusioni dello studio guidato da Bartos sono un’ottima prova empirica a sostegno dell’ipotesi della distorsione dello stesso lato. Parlando con la rivista New Atlas Stephen Woodcock, matematico della University of Technology Sydney, ha invece messo in dubbio che i lanci del gruppo non siano stati condizionati.
      Uno studio del 2009 citato da Woodcock ipotizzò che alcune persone siano in grado di condizionare l’esito del lancio della moneta utilizzando particolari trucchi difficili da notare. Secondo Woodcock non è possibile escludere che l’esperimento del gruppo guidato da Bartos sia stato in parte condizionato dal fatto che le persone coinvolte nello studio e quelle reclutate per i lanci sapessero della distorsione.

      – Leggi anche: Dovremmo prendere più decisioni casualmente? LEGGI TUTTO

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      in Scienza

      Il dilemma della bella addormentata

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      Caricamento playerOltre che protagonista di una delle favole più conosciute di sempre, la bella addormentata è il soggetto immaginario di un esperimento mentale conosciuto da oltre due decenni e molto popolare tra studiosi e appassionati di matematica e filosofia, perché riguarda il modo in cui le informazioni e le convinzioni possono influenzare le scelte razionali. Ideato e proposto tra gli anni Novanta e il Duemila dai filosofi statunitensi Arnold Zuboff e Adam Elga, e discusso negli stessi anni anche dagli economisti Michele Piccione e Ariel Rubinstein, l’esperimento pone una questione ancora oggi irrisolta perché le due soluzioni proposte sono entrambe sostenute da argomenti formalmente validi.Secondo la formulazione classica del dilemma, su cui esistono oltre cento pubblicazioni scientifiche, la bella addormentata accetta di sottoporsi a un esperimento. Il gruppo di ricerca la addormenterà domenica utilizzando un particolare sonnifero che provoca anche una parziale amnesia, e a quel punto lancerà una moneta per decidere come proseguire. Se esce testa, la bella addormentata verrà svegliata e intervistata una sola volta, lunedì. Se esce croce, verrà risvegliata e intervistata due volte: una volta lunedì e un’altra volta martedì, dopo essere stata addormenta di nuovo lunedì, dopo l’intervista.Per effetto della particolare amnesia provocata dal sonnifero, ogni volta che viene svegliata la bella addormentata non sa che giorno sia, se lunedì o martedì, e non sa se sia stata svegliata altre volte in precedenza. Ricorda soltanto le regole dell’esperimento, cioè il criterio del lancio della moneta – il cui risultato lei ignora – per decidere quante volte svegliarla e intervistarla. Nell’intervista le viene posta ogni volta una sola domanda: «Quanta probabilità assegni all’ipotesi che sia uscito testa al lancio della moneta?».Sia gli ideatori del dilemma che le persone che si sono appassionate alla questione nel corso degli anni hanno proposto due possibili risposte. Un gruppo, quello dei cosiddetti “mezzisti” (halfters), sostiene che la bella addormentata dovrebbe rispondere: «una possibilità su due». E lo sostiene sulla base del fatto che la probabilità che la moneta dia testa (o dia croce) è del 50 per cento, indipendentemente dal resto dell’esperimento.Come sostenuto dal filosofo statunitense David Lewis e da altri, si potrebbe anche lanciare la moneta prima anziché dopo aver addormentato la bella addormentata, e – proprio per come è costruito l’esperimento – non cambierebbe molto. Lei comunque non avrebbe informazioni aggiuntive per concludere che, a meno che la moneta non sia truccata, la probabilità che esca testa sia diversa dal 50 per cento. E ogni volta che viene svegliata, secondo i mezzisti, la bella addormentata si trova in questa condizione: non sa se è il suo primo e unico risveglio, o se si tratta del secondo risveglio, né ha modo di scoprirlo. La sua stima sarà quindi inevitabilmente uguale a quella che avrebbe fornito a priori, prima di essere addormentata.– Leggi anche: Costruire nuove strade è un problema matematico non da pocoUn altro gruppo di persone, i “terzisti” (thirders), di cui fa parte anche l’ideatore del dilemma Elga, ritiene invece che la risposta corretta della bella addormentata dovrebbe essere: «una possibilità su tre». Dal punto di vista della bella addormentata possono infatti verificarsi tre diversi eventi: un risveglio di lunedì, dopo che il lancio ha dato testa; un risveglio di lunedì, dopo che il lancio ha dato croce; e un risveglio di martedì, dopo che il lancio ha dato croce. In media, un terzo dei risvegli seguirà un lancio della moneta in cui è uscito testa, e due terzi dei risvegli seguiranno un lancio della moneta in cui è uscito croce.Per metterla nei termini matematici utilizzati dalla divulgatrice e fisica tedesca Manon Bischoff, se la bella addormentata sapesse al suo risveglio che è lunedì (L), allora la probabilità (P) dell’evento “lunedì/testa” (T|L) e quella dell’evento “lunedì/croce” (C|L) sarebbero certamente uguali: e cioè P(T|L) = P(C|L) = ½. E se la bella addormentata sapesse al suo risveglio che è uscito croce (C), sarebbero uguali la probabilità (P) che sia lunedì (L) e quella che sia martedì (M): e cioè P(C|L) = P(C|M) = ½.La conseguenza logica di queste premesse, in base al calcolo della probabilità condizionata, è che nel caso generale – e cioè in assenza di informazioni date alla bella addormentata – tutti e tre gli eventi hanno la stessa probabilità: e cioè P(T|L) = P(C|L) = P(C|M). Secondo Elga, poiché la bella addormentata si sveglia due volte più spesso nel caso in cui esce croce rispetto al caso in cui esce testa, dovrebbe rispondere che la probabilità che sia uscito testa al lancio della moneta è una su tre.Questo punto di vista è spesso rafforzato dall’idea che l’esperimento sia ripetuto un certo numero di volte e non una volta soltanto (sebbene la valutazione delle probabilità dei tre eventi, secondo i terzisti, non sia diversa nemmeno nel caso in cui sia effettuato una sola volta). Se l’esperimento venisse ripetuto 1.000 volte, in media si verificherebbero 500 risvegli singoli e 500 doppi risvegli, per un totale di 1.500 interviste: 1.000 di queste interviste seguirebbero un lancio in cui è uscito croce, e questo renderebbe poco sensata la risposta dei mezzisti.– Leggi anche: Per valutare il successo bisogna considerare il “pregiudizio di sopravvivenza”In altri casi sono state analizzate versioni modificate dell’esperimento mentale, più estreme. In una versione suggerita nel 2006 dal filosofo svedese Nick Bostrom, la bella addormentata viene svegliata e intervistata non soltanto una seconda volta il giorno successivo al primo risveglio, nel caso in cui esca croce, ma un milione di altre volte. Anche in questo caso, la risposta della bella addormentata secondo cui c’è una possibilità su due che sia uscito testa non sembra la più sensata.Portare all’estremo alcune caratteristiche dell’esperimento è una tecnica utilizzata anche per venire a capo di altri dilemmi relativi al calcolo delle probabilità, tra cui il problema di Monty Hall. In quel caso, un ipotetico gioco a premi, il giocatore può scegliere fra tre porte: dietro una c’è un’automobile e dietro le altre due una capra. Il giocatore sceglie una porta, ma riceve la possibilità di cambiare la sua scelta dopo che il conduttore apre una delle due porte dietro cui si trova una capra. L’idea che al giocatore convenga a quel punto cambiare la sua scelta iniziale appare controintuitiva a molte persone, ma diventa più ragionevole nel caso in cui le porte siano molte di più, un milione, e il conduttore ne apra 999.998 con dietro una capra, dando al giocatore la possibilità di cambiare a quel punto la sua scelta iniziale.Versioni modificate dell’esperimento della bella addormentata sono però state utilizzate anche per indebolire l’opinione dei terzisti, ricorda Bischoff, ponendo come esempio il caso in cui l’esito del lancio della moneta venisse sostituito dall’esito di una scommessa sportiva su un evento facilmente prevedibile: una corsa podistica tra la cantante Taylor Swift e l’ex corridore Usain Bolt. Se vince Bolt, come molte persone considererebbero più probabile, la bella addormentata viene svegliata e intervistata soltanto lunedì. Se vince Swift, la bella addormentata viene svegliata e intervistata ogni giorno per un mese.La probabilità che Bolt perda contro Swift è molto bassa, ma applicando la logica “a posteriori” utilizzata dai terzisti, secondo Bischoff, la bella addormentata dovrebbe comunque considerare più probabile un suo risveglio avvenuto dopo una vittoria di Swift: perché in questo caso, per quanto improbabile, lei però verrebbe svegliata 30 volte. Le obiezioni a questo tipo di versione modificata dell’esperimento mentale si basano sul fatto che alterano in modo troppo significativo l’esperimento stesso e il tipo di informazioni a disposizione della bella addormentata.In termini generali, a prescindere dalla soluzione proposta, il dilemma è considerato un esempio utile di enigma relativo alla teoria delle decisione, lo studio matematico e statistico del modo in cui compiamo scelte tra varie alternative possibili. E mostra come le convinzioni e le informazioni delle persone, in questo caso quelle della bella addormentata, possano portare a più conclusioni razionali. LEGGI TUTTO